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1. 极大似然估计（Maximum likelihood estimation）
假设有一堆独立同分布数据X1,…,Xn ，其PDF为p(x;θ) ，其中θ 为模型参数，则其似然函数为：
而极大似然估计就是要找到参数θ ，使得似然函数的值最大。这意思就是找到一个参数θ ，使得使用分布p(x;θ) 来估计这一堆数据Xi 的效果最好。
为啥捏，因为假设X都是离散值的情况下，Ln(Xi;θ) 表达的含义是：从参数θ 通过模型p(x;θ) 产生这一堆数据的概率（把所有单个数据产生的概率乘起来就是产生这一堆数据的概率）。所以p(x;θ)=Pθ(x={Xi}) ，那么如果当有两个参数θ1 和θ2 时，Pθ1(x={Xi})>Pθ2(x={Xi}) ，则说明θ1 更好的描述了这组数据，因此要找到一个θ 使得整似然函数的值最大！
所以只要将似然函数对θ 求导，就可以找到这样的θ 。
例子：求N次伯努利分布的最大似然估计：
将logL(X|μ) 对μ 求导得 Sμ−N−S1−μ=0
得μ^N=1NS=X¯N
2. 极大后验估计（Maximum a posteriori estimation）
极大后验估计中加入了一些先验知识，它最大化的是一个后验函数。具体来说，因为贝叶斯定律：
那么极大后验估计就是要求：
3. 贝叶斯推断（Bayesian Inference）
前面的MAP是一个点估计，只估计似然函数达到最大点的情况下，参数θ 的值。Bayesian inference extends the MAP approach by allowing a distribution over the parameter set θ instead of making a direct estimate. Not only encodes this the maximum(a posteriori) value of the data-generated parameters, but it also incorporates expectation as another parameter estimate as well as variance information as a measure of estimation quality or confidence. ——《Parameter estimation for text analysis》
具体来说，给定数据X和需要求的参数θ ，贝叶斯推断需要求出一个具体的分布：
这里和MAP的区别就在于，MAP忽略了P(X)因为它是常量，对于MAP的过程：求导后再求等于0来获得最好的θ ，这个常量是没有用的。但是贝叶斯推断要的是整个p(θ|X) 的分布，所以P(X)这个normalisation term是需要被求出来的。在获得具体的分布之后，所要求的参数值可以通过估计期望或方差得到。
