ML vs. MAP vs. Bayesian Inference

Ref:http://www.xperseverance.net/blogs/2012/11/1396/

1. 极大似然估计（Maximum likelihood estimation）

假设有一堆独立同分布数据X1,…,Xn，其PDF为p(x;θ)，其中θ为模型参数，则其似然函数为：

Ln(θ)=∏i=1np(Xi;θ)

而极大似然估计就是要找到参数θ，使得似然函数的值最大。这意思就是找到一个参数θ，使得使用分布p(x;θ)来估计这一堆数据Xi的效果最好。

为啥捏，因为假设X都是离散值的情况下，Ln(Xi;θ)表达的含义是：从参数θ通过模型p(x;θ)产生这一堆数据的概率（把所有单个数据产生的概率乘起来就是产生这一堆数据的概率）。所以p(x;θ)=Pθ(x={Xi})，那么如果当有两个参数θ1和θ2时，Pθ1(x={Xi})>Pθ2(x={Xi})，则说明θ1更好的描述了这组数据，因此要找到一个θ使得整似然函数的值最大！

所以只要将似然函数对θ求导，就可以找到这样的θ。

例子：求N次伯努利分布的最大似然估计：

Bern(x|μ)=μx(1−μ)1−x

L(X|μ)=∏i=1NμXi(1−μ)1−Xi=μS(1−μ)N−S， 其中S=∑i=1NXi

将logL(X|μ)对μ求导得 Sμ−N−S1−μ=0

得μ^N=1NS=X¯N

2. 极大后验估计（Maximum a posteriori estimation）

极大后验估计中加入了一些先验知识，它最大化的是一个后验函数。具体来说，因为贝叶斯定律：

p(θ|x)=p(x|θ)p(θ)p(x)

那么极大后验估计就是要求：

θ^MAP=argmaxθ p(x|θ)p(θ)=argmaxθ{∑Xilog p(Xi|θ)+log p(θ)}

可见，极大后验估计中相对于最大似然估计，多了log p(θ)，也就是先验的影响。这一点在Beta分布的后验估计上就能看出来，由于这部分已经写在了这里，所以就不再赘述。

3. 贝叶斯推断（Bayesian Inference）

前面的MAP是一个点估计，只估计似然函数达到最大点的情况下，参数θ的值。Bayesian inference extends the MAP approach by allowing a distribution over the parameter set θ instead of making a direct estimate. Not only encodes this the maximum(a posteriori) value of the data-generated parameters, but it also incorporates expectation as another parameter estimate as well as variance information as a measure of estimation quality or confidence. ——《Parameter estimation for text analysis》

具体来说，给定数据X和需要求的参数θ，贝叶斯推断需要求出一个具体的分布：

p(θ|X)=P(X|θ)P(θ)/P(X)

这里和MAP的区别就在于，MAP忽略了P(X)因为它是常量，对于MAP的过程：求导后再求等于0来获得最好的θ，这个常量是没有用的。但是贝叶斯推断要的是整个p(θ|X)的分布，所以P(X)这个normalisation term是需要被求出来的。在获得具体的分布之后，所要求的参数值可以通过估计期望或方差得到。